tailコマンドと同様に、-fで

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$ docker logs -f [CONTAINER]

// 行数指定する場合
$ docker logs --tail=500 [CONTAINER]

通常docker logsを実行した場合、破棄する前と後で同じ名前のコンテナであれば、破棄前のコンテナのログもそのまま表示されますが、行数指定を利用して、破棄前のコンテナなど以前の古いログを表示しないようにするには以下のようにします

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// --tail=1を指定
$ docker logs --tail=1 [CONTAINER]